Ce ne sont pas en fait des moustaches. Ce sont des marques de moustache, juste des marques sur son visage qui ressemblent à des moustaches.
Oui, cela a un rapport avec le kyuubi. Lorsque Naruto a été influencé par Kurama avant sa naissance, il a obtenu les moustaches :
Les caractéristiques physiques les plus importantes de Naruto, cependant, sont les moustaches sur son visage qu'il a obtenues grâce à l'influence de Kurama sur lui lorsqu'il était dans le ventre de Kushina.
  ; - Naruto Uzumaki, Naruto Wiki
La raison pour laquelle la mère de Naruto ne les a pas eues est qu'elles sont le résultat d'une exposition prolongée (être dans l'utérus) plutôt que d'un simple enfermement de la bête dans l'hôte.
Les deux enfants de Naruto, Bolt et Himawari, ont deux marques de moustache sur chaque joue. Aucun d'entre eux n'est un Jinchuuriki mais tous deux sont les enfants du Jinchuuriki de Kurama, ce qui implique qu'il s'agit d'un trait héréditaire.